6. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и C в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 42, BC = 14, CF:DF = 4:3.

Пусть $AD$ и $BC$ - основания трапеции, $AD = 42$, $BC = 14$. Прямая $EF$ параллельна основаниям и пересекает боковую сторону $CD$ в точке $F$ так, что $CF:FD = 4:3$. Нужно найти длину отрезка $EF$. Воспользуемся свойством пропорциональных отрезков в трапеции: $EF = \frac{DF \cdot BC + CF \cdot AD}{CD}$ Так как $CF:DF = 4:3$, то $CF = 4x$, $DF = 3x$, а $CD = CF + DF = 4x + 3x = 7x$. Подставим значения в формулу: $EF = \frac{3x \cdot 14 + 4x \cdot 42}{7x} = \frac{42x + 168x}{7x} = \frac{210x}{7x} = 30$ Ответ: 30