25. Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ – на второй. При этом $AC$ и $BD$ – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

**Решение:** 1. **Обозначения:** * $r_1 = 45$ (радиус первой окружности) * $r_2 = 55$ (радиус второй окружности) * $O_1$ и $O_2$ – центры первой и второй окружностей соответственно. 2. **Свойства касательных:** Т.к. $AC$ и $BD$ – общие касательные, то $O_1A \perp AC$ и $O_2C \perp AC$, а также $O_1B \perp BD$ и $O_2D \perp BD$. 3. **Расстояние между центрами:** $O_1O_2 = r_1 + r_2 = 45 + 55 = 100$ 4. **Построения:** Проведем прямые $O_1X || AC$ и $O_1Y || BD$, где $X$ лежит на $O_2C$, а $Y$ лежит на $O_2D$. Тогда $O_1XO_2C$ и $O_1YO_2D$ – прямоугольники. 5. **Найдем длины отрезков $O_2X$ и $O_2Y$:** $O_2X = |r_2 - r_1| = |55 - 45| = 10$ 6. **Найдем расстояние $AC$ и $BD$ (длины общих касательных):** Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1XO_2$. По теореме Пифагора: $O_1O_2^2 = O_1X^2 + O_2X^2$ $100^2 = O_1X^2 + 10^2$ $O_1X^2 = 10000 - 100 = 9900$ $O_1X = \sqrt{9900} = 30\sqrt{11}$ Следовательно, $AC = BD = 30\sqrt{11}$ 7. **Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$:** Пусть $h_1$ и $h_2$ – расстояния от $O_1$ до $AB$ и от $O_2$ до $CD$ соответственно. Расстояние между $AB$ и $CD$ равно $h_1 + h_2$. Для нахождения $h_1$ и $h_2$ можно воспользоваться подобием треугольников. Однако, задача сводится к вычислению высоты в прямоугольном треугольнике, опущенной на гипотенузу. Пусть $h$ - расстояние между прямыми $AB$ и $CD$. Тогда $h = r_1 + r_2 = 45 + 55 = 100$. Прямые $AB$ и $CD$ лежат по разные стороны от линии центров, следовательно расстояние равно сумме радиусов, то есть $45+55 = 100$ **Ответ:** 100