24. Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что отрезки $BP$ и $DQ$ равны.

**Доказательство:** 1. **Свойства параллелограмма:** * $AB || CD$ * $AB = CD$ * $AO = OC$ (диагонали делятся пополам в точке пересечения) * $\angle BAO = \angle DCO$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$) * $\angle ABO = \angle CDO$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$) 2. **Равенство углов:** * $\angle AOP = \angle COQ$ (вертикальные углы) 3. **Рассмотрим треугольники $\triangle AOP$ и $\triangle COQ$:** * $AO = OC$ * $\angle AOP = \angle COQ$ * $\angle PAO = \angle QCO$ (т.к. $\angle BAO = \angle DCO$) Следовательно, $\triangle AOP = \triangle COQ$ (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 4. **Равенство сторон:** Из равенства треугольников следует, что $AP = CQ$. 5. **Выразим $BP$ и $DQ$ через стороны параллелограмма:** $BP = AB - AP$ $DQ = CD - CQ$ 6. **Доказательство равенства $BP$ и $DQ$:** Так как $AB = CD$ и $AP = CQ$, то: $BP = AB - AP = CD - CQ = DQ$ Следовательно, $BP = DQ$. **Что и требовалось доказать.**