437. На сторонах угла с вершиной в точке B отметили точки A и C так, что AB = BC. Через точки A и C провели прямые, перпендикулярные сторонам BA и BC соответственно, которые пересекаются в точке O. Докажите, что луч BO - биссектриса угла ABC.

Рассмотрим четырехугольник \(BAOC\). По условию, \(\angle BAO = 90^{\circ}\) и \(\angle BCO = 90^{\circ}\). Следовательно, \(\angle BAO + \angle BCO = 180^{\circ}\). Значит, около четырехугольника \(BAOC\) можно описать окружность. Центр этой окружности лежит на середине отрезка \(BO\). Пусть \(M\) – середина отрезка \(BO\). Тогда \(MA = MB = MC = MO\) (как радиусы окружности). Следовательно, \(\triangle ABM\) и \(\triangle CBM\) – равнобедренные, и \(MA = MB = MC = MO\). Тогда \(\angle BAM = \angle ABM\) и \(\angle BCM = \angle CBM\). Пусть \(\angle ABM = \alpha\) и \(\angle CBM = \beta\). Тогда \(\angle BAM = \alpha\) и \(\angle BCM = \beta\). В \(\triangle ABO\) \(\angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - \alpha\), в \(\triangle CBO\) \(\angle COB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \beta = 90^{\circ} - \beta\). Так как \(AB = BC\), то \(\triangle ABC\) – равнобедренный, и \(\angle BAC = \angle BCA\). Следовательно, \(\angle BAM + \angle MAC = \angle BCM + \angle MCA\). Так как \(\angle BAM = \angle BCM\), то \(\angle MAC = \angle MCA\). Тогда \(\triangle AOC\) – равнобедренный, и \(AO = CO\). Рассмотрим треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle CBO\). У них \(AB = BC\) (дано), \(AO = CO\) (доказано выше), BO – общая сторона. Следовательно, \(\triangle ABO = \triangle CBO\) по трем сторонам. Из равенства треугольников следует, что \(\angle ABO = \angle CBO\), то есть BO – биссектриса угла \(\angle ABC\).