9. Какой должна быть длина хорды окружности, радиус которой равен R, чтобы длины дуг, на которые концы этой хорды делят окружность, относились как 2:1?

Пусть длины дуг относятся как 2:1. Это означает, что одна дуга составляет $\frac{2}{3}$ окружности, а другая - $\frac{1}{3}$ окружности. Центральный угол, опирающийся на дугу, равную $\frac{1}{3}$ окружности, равен $\frac{1}{3} \cdot 360^\circ = 120^\circ$. Хорда, стягивающая дугу в 120°, образует равнобедренный треугольник с углом при вершине 120° и боковыми сторонами, равными радиусу R. Используем теорему косинусов для нахождения длины хорды $x$: $x^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos{120^\circ} = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2R^2 + R^2 = 3R^2$ $x = R\sqrt{3}$ Ответ: **Г) $R\sqrt{3}$**