K-5 II вариант. 2. В геометрической прогрессии {a_n} с положительными членами a_2 = 8, a_4 = 72. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

Дано: геометрическая прогрессия ({a_n}), (a_2 = 8), (a_4 = 72). Найти: (S_5). Зная (a_2) и (a_4), можем найти знаменатель прогрессии (q). (a_4 = a_2 * q^2) (72 = 8 * q^2) (q^2 = \frac{72}{8} = 9) (q = \pm 3). Так как все члены положительные, то (q = 3). Теперь найдём первый член прогрессии: (a_2 = a_1 * q), значит, (a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{8}{3}). Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии: (S_5 = \frac{a_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{\frac{8}{3}(1 - 3^5)}{1 - 3} = \frac{\frac{8}{3}(1 - 243)}{-2} = \frac{\frac{8}{3}(-242)}{-2} = \frac{8}{3} * \frac{242}{2} = \frac{4}{3} * 242 = \frac{968}{3} = 322\frac{2}{3}). Ответ: (S_5 = 322\frac{2}{3}).