10. Диагонали трапеции ABCD (AD || BC) пересекаются в точке O. Площади треугольников ABO и BOC равны соответственно 16 см² и 8 см². Найдите площадь трапеции.

Решение: 1. Рассмотрим треугольники ABO и BOC. У них общая высота, проведенная из вершины B к диагонали AC. Значит, отношение их площадей равно отношению длин отрезков AO и OC. \(\frac{S_{ABO}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OC}\) \(\frac{16}{8} = \frac{AO}{OC}\) \(\frac{AO}{OC} = 2\) (AO = 2OC) 2. Рассмотрим треугольники AOD и COD. У них общая высота, проведенная из вершины D к диагонали AC. Значит, отношение их площадей равно отношению длин отрезков AO и OC. \(\frac{S_{AOD}}{S_{COD}} = \frac{AO}{OC}\) Т.к. \(\frac{AO}{OC} = 2\), то \(\frac{S_{AOD}}{S_{COD}} = 2\) или (S_{AOD} = 2S_{COD}) 3. Треугольники BOC и AOD подобны. Коэффициент подобия = \(\sqrt{\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}}}\) = \(\sqrt{\frac{S_{AOD}}{8}}\) . \(\frac{AO}{OC} = \frac{OD}{OB}\) \(\frac{S_{ABO}}{S_{AOD}} = \frac{OB}{OD}\) \(\frac{16}{S_{AOD}} = \frac{OB}{OD}\) \(\frac{OC}{AO} = \frac{1}{2}\) , значит \(\frac{OB}{OD} = \frac{1}{2}\) , \(\frac{S_{ABO}}{S_{AOD}} = \frac{1}{2}\) . \(S_{AOD} = 2S_{ABO}\) = 32 4. Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников ABO, BOC, COD и AOD. (S_{трапеции} = S_{ABO} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD}) Найдем площадь COD: \(\frac{S_{AOD}}{S_{COD}} = 2\) \(S_{AOD} = 2S_{COD}\) , (S_{COD} = \frac{32}{2} = 16) Тогда площадь трапеции равна: 16 + 8 + 16 + 32 = 72 Ответ: Площадь трапеции равна 72 см².