1. Дано: PE||NK, MP = 4, MN = 6, ME = 3. Найти а) МК; б) PE : NK; в) $S_{MEP} : S_{MKN}$.

a) Так как PE || NK, то треугольники MEP и MNK подобны по двум углам (угол M - общий, углы MEP и MNK равны как соответственные при параллельных прямых PE и NK и секущей MN). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN}$ Подставляем известные значения: $\frac{3}{MK} = \frac{4}{6}$ Решаем уравнение относительно MK: $MK = \frac{3 \cdot 6}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$ б) Так как треугольники MEP и MNK подобны, то отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия: $\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN} = \frac{3}{4.5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит: $\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = (\frac{PE}{NK})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$ Ответ: а) МК = 4.5 б) PE : NK = 2 : 3 в) $S_{MEP} : S_{MKN} = 4 : 9$