4. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $75°$, угол $CAD$ равен $35°$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, мы можем использовать свойства вписанных углов. Угол $ABD$ опирается на дугу $AD$, и угол $CAD$ также опирается на дугу $CD$. Угол $BAC$ равен углу $CAD$, так как они опираются на одну и ту же дугу $BC$, то есть $\angle BAC = 35°$. Угол $ABC$ равен сумме углов $ABD$ и $DBC$. Мы знаем, что $\angle ABD = 75°$. Угол $ACB$ опирается на дугу $AB$, а угол $ADB$ тоже опирается на дугу $AB$. Поэтому, $\angle ADB = \angle ACB$. Но мы не знаем ни один из этих углов. Заметим, что $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$. Также $\angle ABC = \angle BAC + \angle BCA$, но это не поможет найти угол $ABC$. Угол $ABC = \angle ABD + \angle DBC$. Угол $ADC = \angle ADB + \angle BDC$. По условию, $ABCD$ - вписанный четырехугольник. Значит, сумма противоположных углов равна $180°$. Следовательно, $\angle ABC + \angle ADC = 180°$, и $\angle BAD + \angle BCD = 180°$. Угол $BAD$ состоит из $\angle BAC + \angle CAD$, т.е. $\angle BAD = 35° + \angle CAD$. Но $\angle CAD = 35°$. Значит $\angle BAC = \angle CAD = 35°$. Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 75° + \angle DBC$. $\angle ACB = \angle ADB$ (опираются на одну и ту же дугу $AB$). $\angle BAC = \angle BDC$ (опираются на одну и ту же дугу $BC$). Поскольку $\angle ABD = 75°$ и $\angle CAD = 35°$, то $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$. $\angle ACB = \angle ADB$. $\angle ADB = \angle ACB$, и $\angle BAC = 35° = \angle BDC$. В треугольнике $ABD$: $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 35° + 35° = 70°$. $\angle ABD = 75°$. Тогда $\angle ADB = 180° - 70° - 75° = 35°$. $\angle ACB = \angle ADB = 35°$. В треугольнике $ABC$: $\angle BAC = 35°$, $\angle ACB = 35°$. Тогда $\angle ABC = 180° - 35° - 35° = 110°$. Ответ: 110