11.7. б) Площадь треугольника ABC равна $3\sqrt{3}$ см², BC = 3 см, AB = $4\sqrt{3}$ см. Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если ее центр лежит вне треугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC}$. $3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \sin{\angle ABC}$ $3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \cdot \sin{\angle ABC}$ $\sin{\angle ABC} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ $\angle ABC = 30^\circ$ Радиус описанной окружности можно найти по теореме синусов: $\frac{AC}{\sin{\angle ABC}} = 2R$, где R - радиус описанной окружности. Сначала найдем AC по теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$ $AC^2 = (4\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \cos{30^\circ}$ $AC^2 = 48 + 9 - 24\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $AC^2 = 57 - 12 \cdot 3$ $AC^2 = 57 - 36 = 21$ $AC = \sqrt{21}$ Теперь найдем радиус описанной окружности: $\frac{\sqrt{21}}{\sin{30^\circ}} = 2R$ $\frac{\sqrt{21}}{\frac{1}{2}} = 2R$ $2\sqrt{21} = 2R$ $R = \sqrt{21}$ Ответ: $\sqrt{21}$ см.