11.7. а) Площадь треугольника ABC равна $6\sqrt{3}$ см², AB = 4 см, BC = 6 см, $\angle ABC > 90°$. Найдите высоту BH треугольника ABC.

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC}$. $6\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin{\angle ABC}$ $6\sqrt{3} = 12 \cdot \sin{\angle ABC}$ $\sin{\angle ABC} = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\angle ABC = 120^\circ$ (т.к. $\angle ABC > 90^\circ$) Площадь треугольника также можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$, где $AC = 6$, а BH - искомая высота. Для нахождения высоты нужно еще знать сторону AC. По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$ $AC^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos{120^\circ}$ $AC^2 = 16 + 36 - 48 \cdot (-\frac{1}{2})$ $AC^2 = 52 + 24 = 76$ $AC = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$ Теперь находим высоту BH: $6\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{19} \cdot BH$ $BH = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{6\sqrt{3}\sqrt{19}}{19} = \frac{6\sqrt{57}}{19}$ см. Ответ: $\frac{6\sqrt{57}}{19}$ см.