11.5. б) Один из углов треугольника равен 135°, противолежащая ему сторона - $2\sqrt{10}$ см. Найдите две другие стороны треугольника, если они относятся как $\sqrt{2}:1$.

Пусть стороны треугольника, прилежащие к углу в $135^\circ$, равны $x\sqrt{2}$ и $x$. По теореме косинусов: $(2\sqrt{10})^2 = (x\sqrt{2})^2 + x^2 - 2 \cdot x\sqrt{2} \cdot x \cdot \cos{135^\circ}$ $40 = 2x^2 + x^2 - 2\sqrt{2}x^2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$ $40 = 3x^2 + 2x^2 \cdot \frac{2}{2 \cdot \sqrt{1}}$ $40 = 3x^2 + x^2 \cdot \frac{2}{2 \cdot 2}$ $40 = 3x^2 + 2\cdot x^2 \cdot 1$ $40 = 3x^2 + 2x^2$ $40 = 5x^2$ $x^2 = 8$ $x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ (т.к. длина стороны не может быть отрицательной) Тогда, две другие стороны равны $2\sqrt{2}$ см и $2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$ см. Ответ: $2\sqrt{2}$ см и 4 см.