5. Из точки P, принадлежащей остроугольному треугольнику ABC, на стороны AB, BC и CA опущены перпендикуляры PD, PK и PF соответственно. Известно, что ∠APF + ∠BPK = 130°. Найдите угол KDF.

Пусть P – точка внутри остроугольного треугольника ABC. PD, PK и PF – перпендикуляры, опущенные из P на стороны AB, BC и CA соответственно. Следовательно, углы ∠PDA, ∠PKB, и ∠PFC равны 90°. Известно, что ∠APF + ∠BPK = 130°. Рассмотрим четырехугольник APDF: ∠FAP + ∠APF + ∠PDF + ∠PFA = 360°. Так как ∠PFA = ∠PDA=90°, то ∠FAP + ∠APF + 90°+90° = 360°. Значит, ∠FAP + ∠APF = 180°. Рассмотрим четырехугольник BPKD: ∠KBP + ∠BPK + ∠BKP + ∠KDP = 360°. Так как ∠PKB = ∠PDB=90°, то ∠KBP + ∠BPK + 90°+90° = 360°. Значит, ∠KBP + ∠BPK = 180°. Рассмотрим четырехугольник CPKF: ∠KCP + ∠KPF + ∠PKC + ∠PFC = 360°. Так как ∠PKC = ∠PFC = 90°, то ∠KCP + ∠KPF + 90°+90° = 360°. Значит, ∠KCP + ∠KPF = 180°. ∠APF+∠BPK = 130°. ∠FPD = 180 - ∠APF. ∠KPD = 180 - ∠BPK. ∠KPF = 360 - ∠FPD - ∠KPD - ∠KPC. ∠FPD = 180 - ∠FAP. ∠KPD = 180 - ∠KBP. ∠KPC = 180 - ∠KCP. ∠KPF= 180 - ∠KCP. ∠KDF=90 - ∠FDP. ∠KPF= 180-130=50. ∠KDF = 180 - (∠APF + ∠BPK) = 180 - 130 = 50. Так как углы KPD, KPF и FPD являются углами четырехугольника, то 360=90 + 90 + 180-130 + ∠KPF 360= 360 -130 + ∠KPF, тогда ∠KPF=50. ∠KDF = 180-∠KPF= 180 - 130= 50. Ответ: 50 градусов.