3. В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит: точно 180 раз; меньше чем 220 раз.

Для этой задачи мы воспользуемся приближением Пуассона или нормальным приближением, так как количество испытаний велико. Для начала, рассмотрим первый вопрос, точно 180 раз: Для точного значения 180, можно использовать формулу Бернулли, но это будет очень сложно из-за большого n. Применим нормальное приближение. - n = 700 (количество испытаний) - p = 0.35 (вероятность успеха в одном испытании) - q = 1 - p = 0.65 (вероятность неудачи) - Среднее значение (мат. ожидание) ( \mu = n*p = 700 * 0.35 = 245) - Дисперсия ( \sigma^2 = n*p*q = 700 * 0.35 * 0.65 = 159.25) - Стандартное отклонение ( \sigma = \sqrt{159.25} \approx 12.62) Для вероятности того, что событие А происходит ровно 180 раз, мы можем аппроксимировать это как вероятность того, что случайная величина X находится между 179.5 и 180.5. - z_1 = (179.5 - 245)/12.62 = -5.19 - z_2 = (180.5 - 245)/12.62 = -5.11 P(X=180) = Ф(z2) - Ф(z1). Так как эти значения за пределами нормальной таблицы, вероятность будет очень мала, близка к 0. Для вероятности того, что событие А происходит меньше чем 220 раз: Используем нормальное приближение, считая 220 как 219.5. - z = (219.5 - 245) / 12.62 = -2.09 Теперь нужно найти значение функции стандартного нормального распределения для z = -2.09. По таблице нормального распределения Ф(-2.09) примерно равно 0.0183. (P(X < 220) \approx 0.0183) Итоговый ответ: Вероятность того, что событие А произойдет точно 180 раз очень мала (близка к 0). Вероятность того, что событие А произойдет меньше 220 раз составляет примерно 0.0183.