25. В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 7 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Обозначим точку касания вписанной окружности со стороной AB буквой M, со стороной BC – буквой N, со стороной AC – буквой P. Точка O – центр вписанной окружности, значит, \( OA = 13 \) – радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, умноженный на корень из двух, \( OP = 5 \) – радиус, вписанной в треугольник ABC. Расстояние от O до прямой AD – это высота, опущенная из точки O на AD, т.е., перпендикуляр. Назовем точку пересечения этого перпендикуляра с прямой AD – H. Так как O – центр вписанной окружности в треугольник ABC, то ОН = 7. Опустим из О перпендикуляры на AB и BC, назовем их соответственно OK и OL. Тогда OK = OL = OP = 5. Так как O – центр вписанной окружности, \( OH = 7 \), \( OP = 5 \). Также \( OA = 13 \) не радиус, а расстояние от точки О до точки А. Значит OH и OP не радиусы вписанной окружности, а расстояния от центра вписанной окружности до прямых AD и AC. Площадь треугольника ABC = pr, где p – полупериметр, r – радиус вписанной окружности. Если опустить перпендикуляр из точки O на AD в точку H, то OH=7. Если опустить перпендикуляр из O на AC в точку P, то OP=5. Заметим что OH не равно радиусу вписанной окружности. Рассмотрим треугольник AOH. Имеем OA=13, OH=7. Из условия следует, что OH=7 — расстояние от O до AD, и OP = 5 — расстояние от O до AC. Угол между AD и AC является углом \(\angle DAC\). По формуле расстояния от точки до прямой: расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра от этой точки до прямой. Из условия, r=5. Проведем высоту из B на AC, пусть будет BH. Площадь треугольника ABC \(S_{ABC}=\frac{1}{2} AC \cdot BH\). Площадь треугольника ABC = \( p*r \), где p - полупериметр треугольника ABC, а r - радиус вписанной окружности, т.е. 5. Из подобия треугольников \( \triangle AOH \sim \triangle AXP \), где XP - высота из X на AC, получается, что \( \frac{r}{7} = \frac{5}{7} \). Значит радиус равен 5. Площадь параллелограмма ABCD будет равна удвоенной площади треугольника ABC. Площадь ABC \( = pr\), где r=5, а p - полупериметр. Зная расстояния от точки O до прямых AD и AC можно найти углы. Так как мы не знаем ни одной из длин сторон, кроме расстояний от O до сторон, то напрямую площадь треугольника мы не можем найти. Однако, в параллелограмме диагональ делит его на два равных треугольника. Площадь параллелограмма \( = 2*S_{ABC} \). Если радиус вписанной окружности равен 5, то площадь треугольника ABC \( = 5 \cdot p\), где p - полупериметр. Мы не знаем полупериметр, поэтому этот путь не подходит. Площадь параллелограмма ABCD = высота * основание = \( AD * h \) , где h - высота, опущенная на AD. Значит площадь треугольника \( ABC = \frac{1}{2} * AD * h \). Так как не хватает данных для решения, то я не могу определить площадь параллелограмма ABCD.