23. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK=9, а сторона AC в 1,5 раза больше стороны BC.

Так как точки B, C, K, P лежат на одной окружности, то четырехугольник BKPC является вписанным. Из этого следует, что углы \(\angle AKP = \angle ABC\) (как углы, опирающиеся на одну дугу). Также \(\angle A\) является общим для треугольников AKР и ABC. Значит, \(\triangle AKP \sim \triangle ABC\) по двум углам. По условию \(AC = 1.5 BC\), следовательно, коэффициент подобия \(k = \frac{AK}{AB} = \frac{AP}{AC} = \frac{KP}{BC}\). Необходимо найти отношение \( \frac{KP}{BC} \), зная \(AC = 1.5 BC\). У нас есть \( \frac{AK}{AB} \), но мы не знаем длину AB. Используем подобие треугольников: \( \frac{AK}{AC} = \frac{KP}{BC} \). Из условия знаем, что \( AC = 1.5 BC \), следовательно \( \frac{BC}{AC} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} \). Также имеем \( \frac{KP}{BC} = \frac{AK}{AB} \), но AK=9, и мы знаем, что \( \frac{AK}{AC}= \frac{KP}{BC} \). Пусть \( AP = x \), тогда \( \frac{9}{x+9} = \frac{x}{1.5BC} \). Поскольку \( \frac{AP}{AC} = \frac{KP}{BC} \), то \( \frac{KP}{BC} = \frac{AK}{AC} \). Из условия не хватает информации, но мы можем найти длину KP. Мы знаем, что \( \frac{AK}{AC} = \frac{KP}{BC} \). Нам известно, что \(AC = 1.5 BC\), значит \( \frac{BC}{AC} = \frac{2}{3} \). Пусть \( \frac{KP}{BC} = k \), тогда \( \frac{KP}{AC} = \frac{2k}{3} \). Также \( \frac{AK}{AC} = \frac{9}{AC} \). Значит \( \frac{9}{AC} = k \), \( \frac{9}{1.5BC} = \frac{KP}{BC} \), отсюда \( KP = \frac{9}{1.5} = 6 \). Ответ: KP = 6