24. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁A₁ и CAA₁ равны.

Рассмотрим четырехугольник \( A_1BC_1C \). Углы \( \angle BA_1C \) и \( \angle BC_1C \) прямые, поэтому около этого четырехугольника можно описать окружность. Следовательно, углы \( \angle A_1C_1C \) и \( \angle A_1BC \) равны, как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Таким образом, \( \angle CC_1A_1 = \angle CBA_1 \). Теперь рассмотрим треугольник \( AA_1B \). \( \angle AA_1B = 90^{\circ} \). Тогда \( \angle BAA_1 = 90^{\circ} - \angle ABC \). Рассмотрим треугольник \( CCA_1 \). \( \angle AA_1C = 90^{\circ} \).Тогда \( \angle CAA_1 = 90^{\circ} - \angle A_1CA \). Поскольку, \( \angle CBA_1 = 90^{\circ} - \angle BAC \) и \( \angle A_1BC = 90^{\circ} - \angle ACB \), то \( \angle CBA_1 = \angle CAA_1 \). Итак, \( \angle CC_1A_1 = \angle CBA_1 = \angle CAA_1 \). Что и требовалось доказать.