25. Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом AC и BD - общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Пусть радиус первой окружности \(r_1 = 45\), радиус второй окружности \(r_2 = 55\). Расстояние между центрами окружностей \(O_1O_2 = r_1 + r_2 = 45+55=100\). Расстояние между параллельными касательными АВ и CD равно расстоянию между центрами проекции окружностей на линию, перпендикулярную касательным. Так как общие касательные АС и BD проходят через точку пересечения касательных, то прямая, соединяющая центры окружностей, тоже проходит через эту точку. Для нахождения расстояния нужно найти расстояние от этой точки до каждой из прямых АВ и CD. Пусть расстояние между центрами равно 100. Нужно найти разницу между радиусами \(55-45 = 10\). Расстояние между прямыми равно \(2 \cdot \sqrt{r_1r_2} = 2 \cdot \sqrt{45 \cdot 55} = 2 \cdot \sqrt{2475} = 2 \cdot 15\sqrt{11}=30\sqrt{11}\). Так как радиусы отличаются на 10, то расстояние между касательными будет равно 10. Ответ: 10