24. На средней линии трапеции KLMN с основаниями KN и LM выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников LFM и KFN равна половине площади трапеции.

Пусть h - высота трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Обозначим среднюю линию через m. Площадь трапеции равна \(S_{KLMN} = m*h\). Высота треугольника LFM и высота треугольника KFN равны \(\frac{h}{2}\). Площадь треугольника LFM равна \(S_{LFM} = \frac{1}{2} LM \cdot \frac{h}{2}\), а площадь треугольника KFN равна \(S_{KFN} = \frac{1}{2} KN \cdot \frac{h}{2}\). \(S_{LFM}+S_{KFN} = \frac{1}{4}LM \cdot h + \frac{1}{4} KN \cdot h = \frac{1}{4}h(LM + KN)\). Средняя линия равна \(m = \frac{LM+KN}{2}\), значит \(LM+KN = 2m\). \(S_{LFM}+S_{KFN} = \frac{1}{4}h(2m) = \frac{1}{2}mh = \frac{1}{2} S_{KLMN}\). Значит, сумма площадей треугольников LFM и KFN равна половине площади трапеции.