25. Длина катета АС прямоугольного треугольника АВС равна 24 см. Окружность с диаметром АС пересекает гипотенузу АВ в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что AM: MB = 576: 49.

Решение: Пусть \(AM = 576x\) и \(MB = 49x\), тогда \(AB = AM + MB = 576x + 49x = 625x\). Так как окружность с диаметром AC пересекает гипотенузу AB в точке M, угол AMC - прямой (вписанный угол, опирающийся на диаметр). Значит, \(CM \perp AB\). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. \(CM\) - высота, проведенная к гипотенузе. Тогда выполняются соотношения: \[AC^2 = AM * AB\] \[24^2 = 576 * x * 625 * x\] \[576 = 576 * 625 * x^2\] \[x^2 = \frac{1}{625}\] \[x = \frac{1}{25}\] Теперь найдем длины AM и AB: \[AM = 576 * \frac{1}{25} = \frac{576}{25}\] \[AB = 625 * \frac{1}{25} = 25\] Из прямоугольного треугольника ABC: \[BC^2 = AB^2 - AC^2 = 25^2 - 24^2 = 625 - 576 = 49\] \[BC = \sqrt{49} = 7\] Площадь треугольника ABC: \[S = \frac{1}{2} * AC * BC = \frac{1}{2} * 24 * 7 = 12 * 7 = 84\] Ответ: Площадь треугольника ABC равна 84 кв. см. Развёрнутый ответ: Мы воспользовались свойством вписанного угла, опирающегося на диаметр, чтобы доказать, что CM — высота в прямоугольном треугольнике ABC. Затем использовали соотношения между сторонами и высотой в прямоугольном треугольнике, а также теорему Пифагора, чтобы найти длину катета BC. В конце нашли площадь треугольника ABC, используя формулу площади прямоугольного треугольника.