22. Постройте график функции y = |x|(x - 2) – 4x и определите, при каких значениях b прямая y = b имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение: Разбиваем функцию на два случая: 1. x ≥ 0: \(y = x(x - 2) - 4x = x^2 - 2x - 4x = x^2 - 6x\) 2. x < 0: \(y = -x(x - 2) - 4x = -x^2 + 2x - 4x = -x^2 - 2x\) Таким образом, функция имеет вид: \[y = \begin{cases} x^2 - 6x, & x \geq 0 \\ -x^2 - 2x, & x < 0 \end{cases}\] Для первого случая (x ≥ 0), найдем вершину параболы: \(x_v = \frac{-(-6)}{2 * 1} = 3\). Тогда \(y_v = 3^2 - 6 * 3 = 9 - 18 = -9\). Для второго случая (x < 0), найдем вершину параболы: \(x_v = \frac{-(-2)}{2 * (-1)} = -1\). Тогда \(y_v = -(-1)^2 - 2 * (-1) = -1 + 2 = 1\). Теперь определим, при каких значениях b прямая y = b имеет с графиком ровно две общие точки: 1. b = -9. Одна точка в вершине первой параболы (3,-9) и вторая точка где-то на параболе x>=0. 2. b = 1. Одна точка в вершине второй параболы (-1, 1) и вторая точка где-то на параболе x<0. 3. b=0. Функция \(y = \begin{cases} x^2 - 6x, & x \geq 0 \\ -x^2 - 2x, & x < 0 \end{cases}\) обращается в 0 при: *x^2 - 6x=0 => x(x-6)=0 => x=0 и x=6 *-x^2 - 2x=0 => -x(x+2)=0 => x=0 и x=-2 В точке x=0, y=0 поэтому y=0 имеет три общие точки, что нам не подходит. Ответ: Прямая y = b имеет с графиком ровно две общие точки при b = -9 и b = 1. Развёрнутый ответ: Мы проанализировали функцию, разбив её на два случая в зависимости от знака x. Для каждого случая мы нашли вершину параболы. Затем определили, при каких значениях b (y) прямая y = b будет иметь с графиком ровно две общие точки. Это происходит в вершинах парабол и в тех случаях, когда прямая касается графика в одной точке и пересекает в другой.