24. В параллелограмме ABCD проведены перпендикуляры АМ и CN к диагонали BD (см. рис. 150). Докажите, что AMCN — параллелограмм.

Решение: 1. Рассмотрим треугольники \(\triangle AMD\) и \(\triangle CNB\). 2. \(AM \perp BD\) и \(CN \perp BD\), следовательно, \(\angle AMD = \angle CNB = 90^\circ\). 3. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(AD = BC\). 4. \(\angle ADB = \angle CBD\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BD. 5. Следовательно, \(\triangle AMD = \triangle CNB\) по гипотенузе и острому углу (по признаку равенства прямоугольных треугольников). 6. Из равенства треугольников следует, что \(AM = CN\). 7. Так как AM и CN перпендикулярны BD, то \(AM \parallel CN\). 8. Четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Следовательно, AMCN — параллелограмм. Развёрнутый ответ: Мы доказали, что AMCN — параллелограмм, используя признаки равенства треугольников и свойства параллелограмма. Сначала мы рассмотрели треугольники AMD и CNB и показали, что они равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует, что стороны AM и CN равны. Так как AM и CN перпендикулярны диагонали BD, они параллельны друг другу. В итоге, мы получили четырехугольник, у которого две стороны (AM и CN) равны и параллельны, что является признаком параллелограмма.