21. Из А в В одновременно выехали два мотоциклиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути с постоянной скоростью, меньшей скорости первого на 5 км/ч, а вторую половину пути со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым мотоциклистом. Найдите скорость первого мотоциклиста, если известно, что она больше 30 км/ч.

Решение: Пусть s - расстояние между А и В. Пусть v - скорость первого мотоциклиста. Тогда время, которое он затратил, равно \(\frac{s}{v}\). Второй мотоциклист первую половину пути ехал со скоростью \(v - 5\) и вторую половину со скоростью 66. Время, затраченное вторым мотоциклистом, равно: \[\frac{s/2}{v-5} + \frac{s/2}{66}\] Так как они прибыли одновременно, времена равны: \[\frac{s}{v} = \frac{s/2}{v-5} + \frac{s/2}{66}\] Сокращаем на s (так как s ≠ 0): \[\frac{1}{v} = \frac{1}{2(v-5)} + \frac{1}{132}\] Умножаем обе части на \(132v(v-5)\): \[132(v-5) = 66v + v(v-5)\] \[132v - 660 = 66v + v^2 - 5v\] \[v^2 - 71v + 660 = 0\] Решаем квадратное уравнение: \[D = (-71)^2 - 4 * 1 * 660 = 5041 - 2640 = 2401\] \[v_1 = \frac{71 + \sqrt{2401}}{2} = \frac{71 + 49}{2} = \frac{120}{2} = 60\] \[v_2 = \frac{71 - \sqrt{2401}}{2} = \frac{71 - 49}{2} = \frac{22}{2} = 11\] Так как скорость должна быть больше 30 км/ч, выбираем v = 60. Ответ: Скорость первого мотоциклиста равна 60 км/ч. Развёрнутый ответ: Мы составили уравнение на основе условия задачи о том, что два мотоциклиста прибыли в пункт назначения одновременно. Для этого мы выразили время, затраченное каждым мотоциклистом, и приравняли их. После упрощения уравнения мы получили квадратное уравнение, решили его и выбрали подходящий корень, учитывая условие, что скорость первого мотоциклиста больше 30 км/ч.