16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=12, DK=16, BC=21. Найдите AD.

Используем теорему о секущих, проведенных из одной точки к окружности: KA*KB=KC*KD. BK=12, DK=16, пусть AK=x, KC= y, AD= z. KC = KD-BC= 16-21 = -5 (не подходит). KC=21+y. Если точки K,A,B расположены последовательно, то AK*12=(21+y)*16. При этом в условии не сказано, что K лежит на отрезке CD. Так как четырехугольник вписан, то по свойству хорд AK*BK=CK*DK. AK*12= CK*16. При этом BK = 12, DK = 16. Для вписанных четырехугольников верно, что AK*BK = CK*DK. Подставим известные значения: $AK * 12 = CK * 16$ Используем подобие треугольников, т.к. вписанный четырехугольник ABCD, то $\angle KBC = \angle KDA$ как вписанные опирающиеся на одну дугу AC. $\angle KCB = \angle KAD$ Значит, треугольник KBC подобен треугольнику KDA, тогда верно соотношение: $KB/KD = BC/AD$. $12/16=21/AD$, отсюда $AD=21*16/12=28$.