10.11. б) В треугольнике ABC ∠B = 105°, BC = 10. Высота BH = 5√2. Найдите периметр треугольника ABC.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Мы знаем BC = 10 и BH = 5√2. Тогда \( \sin C = \frac{BH}{BC} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), следовательно \( \angle C = 45^\circ \). 2. \( \angle A = 180^\circ - 105^\circ - 45^\circ = 30^\circ \). 3. В треугольнике ABH, \( \angle A = 30^\circ \), \( BH = 5\sqrt{2} \). Тогда \( AB = \frac{BH}{\sin A} = \frac{5\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 10\sqrt{2} \). 4. В треугольнике BHC, \( HC = \sqrt{BC^2 - BH^2} = \sqrt{10^2 - (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{100 - 50} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \). 5. Тогда \( AC = AH + HC \), где \( AH = AB \cos B \). Альтернативный подход: 1. Рассматриваем треугольник BHC. Так как \(\angle C = 45^{\circ}\), то \(\angle CBH = 45^{\circ}\). Значит, BHC - равнобедренный, и HC = BH = 5√2. 2. Находим AH. В треугольнике ABH: \(\angle A = 30^{\circ}\), BH = 5√2. \(\tan A = \frac{BH}{AH}\), следовательно, \(AH = \frac{BH}{\tan A} = \frac{5\sqrt{2}}{\tan 30^{\circ}} = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5\sqrt{6}\). 3. AC = AH + HC = 5√6 + 5√2 = 5(√6 + √2). 4. Находим AB. В треугольнике ABH: \(\sin A = \frac{BH}{AB}\), следовательно, \(AB = \frac{BH}{\sin A} = \frac{5\sqrt{2}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 10\sqrt{2}\). 5. Периметр P = AB + BC + AC = 10√2 + 10 + 5√6 + 5√2 = 15√2 + 10 + 5√6. Ответ: \( P = 10 + 15\sqrt{2} + 5\sqrt{6} \) см.