10.11. а) В треугольнике ABC ∠B = 105°, BC = 20. Высота BH равна 10. Найдите периметр треугольника ABC.

1. Рассмотрим треугольник ABH. \( \sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB} \), \( \angle ABH = 105^\circ \), \( BH = 10 \). 2. \( AB = \frac{BH}{\sin(\angle ABH)} = \frac{10}{\sin(105^\circ)} \). \( \sin(105^\circ) = \sin(60 + 45) = \sin(60)\cos(45) + \cos(60)\sin(45) = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) 3. Тогда \( AB = \frac{10}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{40}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{40(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = 10(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \). 4. Рассмотрим треугольник BHC. \( \sin(\angle BCH) = \frac{BH}{BC} \), \( \angle BCH = \angle C \). \( \sin(C) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \), значит \( \angle C = 30^\circ \). 5. Тогда \( \angle A = 180 - 105 - 30 = 45^\circ \). 6. Рассмотрим треугольник AHC. \( \tan(\angle C) = \frac{AH}{HC} \), следовательно \( HC = \frac{AH}{\tan(\angle C)} \). \( AH = AB \cdot \cos(\angle ABH) \). Получается очень сложно. Надо посмотреть проще.