10.10. а) Диагональ AC параллелограмма ABCD делит угол BAD на два угла, величины которых β и φ. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AC = a.

Пусть \(\angle BAC = \beta\) и \(\angle CAD = \phi\). Тогда \(\angle BAD = \beta + \phi\). Площадь параллелограмма можно найти как произведение двух смежных сторон на синус угла между ними: \(S = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)\). В треугольнике ABC по теореме синусов: \(\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}\), где \(\angle ABC = 180^\circ - (\beta + \phi)\) BC = AD. Таким образом \(\frac{a}{\sin(\angle ABC)} = \frac{AD}{\sin(\beta)}\), значит \(AD = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\angle ABC)}\). Аналогично для треугольника ADC. Используем формулу площади через диагонали и угол между ними: \(S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin(\alpha)\) В нашем случае \(S = 2 S_{\triangle ABC} = AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)\) Ответ: Площадь \(S = \frac{1}{2} a^2 \sin(\beta) \sin(\phi) \)