№7. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Найдите неизвестный катет и гипотенузу если: а) АС = 20, ∠B = 45°; б) AC = 10, ∠B = 60°; в) AC = $4\sqrt{3}$, ∠B = 30°.

a) Если $\angle B = 45^\circ$, то $\angle A = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Значит, треугольник равнобедренный, и $BC = AC = 20$. По теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}$. б) $AC = 10$, $\angle B = 60^\circ$, тогда $\angle A = 30^\circ$. $\tan B = \frac{AC}{BC}$ $\tan 60^\circ = \frac{10}{BC}$ $\sqrt{3} = \frac{10}{BC}$ $BC = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ $\sin A = \frac{BC}{AB}$ $\sin 30^\circ = \frac{1}{2} = \frac{BC}{AB}$ $AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ в) $AC = 4\sqrt{3}$, $\angle B = 30^\circ$, тогда $\angle A = 60^\circ$. $\tan B = \frac{AC}{BC}$ $\tan 30^\circ = \frac{4\sqrt{3}}{BC}$ $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{BC}$ $BC = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ $\sin B = \frac{AC}{AB}$ $\sin 30^\circ = \frac{1}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{AB}$ $AB = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$