№8. (4 балла). Доказать, что точки А(1; 2), B(5; 6), C(9; 2), D(5; -2) являются вершинами квадрата.

Чтобы доказать, что данные точки являются вершинами квадрата, нужно показать, что: 1. Все стороны равны. 2. Диагонали равны. 3. Диагонали перпендикулярны (или проверить равенство углов 90 градусов). Сначала найдем длины сторон: $AB = \sqrt{(5-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$ $BC = \sqrt{(9-5)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$ $CD = \sqrt{(5-9)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$ $DA = \sqrt{(1-5)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$ Все стороны равны $\sqrt{32}$. Теперь найдем длины диагоналей: $AC = \sqrt{(9-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{64 + 0} = \sqrt{64} = 8$ $BD = \sqrt{(5-5)^2 + (-2-6)^2} = \sqrt{0 + 64} = \sqrt{64} = 8$ Диагонали равны. Чтобы доказать, что диагонали перпендикулярны, найдем угловые коэффициенты диагоналей: $k_{AC} = \frac{2-2}{9-1} = \frac{0}{8} = 0$ $k_{BD} = \frac{-2-6}{5-5} = \frac{-8}{0}$ (не определен, значит, прямая вертикальна) Так как одна диагональ горизонтальна (k=0), а другая вертикальна, то они перпендикулярны. Таким образом, все условия выполнены, и данные точки являются вершинами квадрата. **Ответ:** Доказано.