Задание 3: Докажите тождество: (cos α + 2 cos 2α + cos 3α) / (sin α + 2 sin 2α + sin 3α) = ctg 2α.

Преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы суммы косинусов и синусов: Числитель: \(\cos \alpha + \cos 3\alpha + 2 \cos 2\alpha = 2 \cos \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha - \alpha}{2} + 2 \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha + 2 \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha (\cos \alpha + 1)\). Знаменатель: \(\sin \alpha + \sin 3\alpha + 2 \sin 2\alpha = 2 \sin \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha - \alpha}{2} + 2 \sin 2\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos \alpha + 2 \sin 2\alpha = 2 \sin 2\alpha (\cos \alpha + 1)\). Тогда: \(\frac{\cos \alpha + 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha}{\sin \alpha + 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha} = \frac{2 \cos 2\alpha (\cos \alpha + 1)}{2 \sin 2\alpha (\cos \alpha + 1)} = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \ctg 2\alpha\). Тождество доказано.