Задание 5: Высота BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки AD и CD, BC = 6 см, ∠A = 30°, ∠CBD = 45°. Найдите отрезок AD.

Рассмотрим треугольник CBD. Так как угол CBD равен 45°, а угол BDC прямой (90°, поскольку BD - высота), то угол BCD также равен 45° (180° - 90° - 45° = 45°). Следовательно, треугольник CBD равнобедренный, и BD = CD = 6 см. Теперь рассмотрим треугольник ABD. В нём угол A равен 30°, а угол BDA прямой (90°). Мы знаем, что BD = 6 см. Нам нужно найти AD. Используем тангенс угла A: $$tan A = \frac{BD}{AD}$$ $$tan 30° = \frac{6}{AD}$$ Мы знаем, что tan 30° = 1/√3 = √3/3. $$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{6}{AD}$$ $$AD = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{6 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$ Ответ: Отрезок AD равен $6\sqrt{3}$ см.