Задание 4: Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает сторону AB в точке A₁, а сторону BC - в точке C₁. Докажите, что углы треугольника ABC равны углам треугольника A₁BC₁.

Дано: A₁C₁ || AC. Доказательство: 1. ∠BAC и ∠BA₁C₁ - соответственные углы при параллельных прямых AC и A₁C₁ и секущей AB. Значит, ∠BAC = ∠BA₁C₁. 2. ∠BCA и ∠BC₁A₁ - соответственные углы при параллельных прямых AC и A₁C₁ и секущей BC. Значит, ∠BCA = ∠BC₁A₁. 3. ∠ABC - общий угол для обоих треугольников. Так как углы ∠BAC = ∠BA₁C₁, ∠BCA = ∠BC₁A₁, и ∠ABC - общий, то углы треугольника ABC равны углам треугольника A₁BC₁.