Задание 10: Найдите tg 2\(a\), если sin \(a = \frac{\sqrt{39}}{8}\) и \(\pi < a < \frac{3\pi}{2}\).

Дано: \(\sin a = \frac{\sqrt{39}}{8}\) и \(\pi < a < \frac{3\pi}{2}\). Нужно найти \(\tan 2a\). Сначала найдем \(\cos a\). Так как \(\pi < a < \frac{3\pi}{2}\), то \(a\) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\). \(\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - (\frac{\sqrt{39}}{8})^2 = 1 - \frac{39}{64} = \frac{64 - 39}{64} = \frac{25}{64}\). \(\cos a = -\sqrt{\frac{25}{64}} = -\frac{5}{8}\) (знак минус, так как \(a\) в третьей четверти). Теперь найдем \(\tan a\): \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{\sqrt{39}}{8}}{-\frac{5}{8}} = -\frac{\sqrt{39}}{5}\). Используем формулу для \(\tan 2a\): \(\tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a}\). \(\tan 2a = \frac{2(-\frac{\sqrt{39}}{5})}{1 - (-\frac{\sqrt{39}}{5})^2} = \frac{-\frac{2\sqrt{39}}{5}}{1 - \frac{39}{25}} = \frac{-\frac{2\sqrt{39}}{5}}{\frac{25 - 39}{25}} = \frac{-\frac{2\sqrt{39}}{5}}{-\frac{14}{25}} = \frac{2\sqrt{39}}{5} \cdot \frac{25}{14} = \frac{5\sqrt{39}}{7}\). Ответ: \(\frac{5\sqrt{39}}{7}\)