Задача 2: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых 25 см, а другой 144 см. Найдите стороны данного треугольника и площадь.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом B, и BD - высота, проведенная к гипотенузе AC. По условию AD = 25 см, DC = 144 см. 1. Найдем длину гипотенузы AC: $AC = AD + DC = 25 + 144 = 169$ см 2. Используем свойство высоты, проведенной из прямого угла: $BD^2 = AD * DC$. $BD^2 = 25 * 144 = 3600$ $BD = \sqrt{3600} = 60$ см 3. Используем теорему Пифагора для треугольника ABD: $AB^2 = AD^2 + BD^2$. $AB^2 = 25^2 + 60^2 = 625 + 3600 = 4225$ $AB = \sqrt{4225} = 65$ см 4. Используем теорему Пифагора для треугольника CBD: $BC^2 = CD^2 + BD^2$. $BC^2 = 144^2 + 60^2 = 20736 + 3600 = 24336$ $BC = \sqrt{24336} = 156$ см 5. Найдем площадь треугольника ABC: $S = \frac{1}{2} * AB * BC$. $S = \frac{1}{2} * 65 * 156 = \frac{1}{2} * 10140 = 5070$ кв. см **Ответ: AB = 65 см, BC = 156 см, AC = 169 см, S = 5070 кв. см**