Задача 5: В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O, BO : OD = 2 : 3, AC = 25см. Найдите отрезки AO и OC.

Поскольку BO : OD = 2 : 3, то можно сказать, что BO = 2x, OD = 3x для некоторого x. Так как AD и BC - основания трапеции, то BC || AD. Следовательно, треугольники BOC и DOA подобны (по двум углам: углы BOC и DOA вертикальные, углы CBO и ADO накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD). Из подобия следует: $\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{2}{3}$ Значит, CO = 2y, AO = 3y для некоторого y. Известно, что AC = AO + CO = 25 см. Подставляем: $3y + 2y = 25$ $5y = 25$ $y = 5$ см Теперь находим AO и OC: $AO = 3y = 3 * 5 = 15$ см $OC = 2y = 2 * 5 = 10$ см **Ответ: AO = 15 см, OC = 10 см**