Задача 5: В треугольнике ABC стороны AB и AC равны, угол A равен 84°. Биссектрисы углов B и C пересекаются в точке M. Найдите величину угла BMC. Ответ дайте в градусах.

1. Дано: AB = AC, \(\angle A = 84^\circ\). BM и CM - биссектрисы углов B и C. Нужно найти \(\angle BMC\). 2. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), то углы при основании равны: \(\angle B = \angle C\). 3. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов: \[\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\] 4. Так как \(\angle B = \angle C\), можем записать: \[84^\circ + 2 \cdot \angle B = 180^\circ\] 5. Решим уравнение, чтобы найти \(\angle B\): \[2 \cdot \angle B = 96^\circ\] \[\angle B = 48^\circ\] 6. Значит, \(\angle C = 48^\circ\) тоже. 7. Так как BM и CM - биссектрисы углов B и C, то углы MBC и MCB равны половине соответствующих углов: \[\angle MBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ\] \[\angle MCB = \frac{\angle C}{2} = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ\] 8. Рассмотрим треугольник BMC. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов: \[\angle BMC + \angle MBC + \angle MCB = 180^\circ\] 9. Выразим угол BMC: \[\angle BMC = 180^\circ - \angle MBC - \angle MCB\] \[\angle BMC = 180^\circ - 24^\circ - 24^\circ = 132^\circ\] Ответ: 132 градуса.