Задача 3: В прямоугольном треугольнике ABC угол B прямой, BC = 5, AC = 10. Биссектрисы углов ABC и ACB пересекаются в точке O. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

В прямоугольном треугольнике ABC, угол B = 90 градусов. 1. Сумма углов A и C равна 180 - 90 = 90 градусов. \[\angle A + \angle C = 90^\circ\] 2. Так как BO и CO - биссектрисы углов B и C, то углы OBC и OCB равны половине соответствующих углов. \[\angle OBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\] \[\angle OCB = \frac{\angle C}{2}\] 3. Рассмотрим треугольник BOC. Сумма углов в треугольнике BOC равна 180 градусов. \[\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ\] 4. Выразим угол BOC: \[\angle BOC = 180^\circ - \angle OBC - \angle OCB\] \[\angle BOC = 180^\circ - 45^\circ - \frac{\angle C}{2}\] 5. Чтобы найти \(\frac{\angle C}{2}\), выразим \(\angle C\) из первого уравнения: \[\angle C = 90^\circ - \angle A\] \[\frac{\angle C}{2} = \frac{90^\circ - \angle A}{2}\] 6. Подставим это в уравнение для угла BOC: \[\angle BOC = 180^\circ - 45^\circ - \frac{90^\circ - \angle A}{2}\] \[\angle BOC = 135^\circ - \frac{90^\circ}{2} + \frac{\angle A}{2}\] \[\angle BOC = 135^\circ - 45^\circ + \frac{\angle A}{2}\] \[\angle BOC = 90^\circ + \frac{\angle A}{2}\] 7. Сделаем следующее: В прямоугольном треугольнике ABC: \(\angle A + \angle C = 90^{\circ}\) Разделим обе части уравнения на 2: \[\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2} = 45^{\circ}\] В треугольнике BOC: \(\angle BOC + \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2} = 180^{\circ}\) Но \(\frac{\angle B}{2} = 45^{\circ}\), поэтому \(\angle BOC + 45^{\circ} + \frac{\angle C}{2} = 180^{\circ}\) Отсюда: \(\angle BOC = 180^{\circ} - 45^{\circ} - \frac{\angle C}{2} = 135^{\circ} - \frac{\angle C}{2}\) Сложим уравнения: \[\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2} + \angle BOC = 45^{\circ} + 180^{\circ} - 45^{\circ} - \frac{\angle C}{2}\] Тогда: \[\angle BOC = 135^\circ - \frac{\angle C}{2}\] Выразим \(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2} = 45^{\circ}\) Тогда: \(\angle BOC = 135^{\circ} + 45^{\circ} = \frac{\angle A}{2}\) Подставим: \[\angle BOC + 45^\circ = 180^\circ - \frac{90^\circ}{2}\]\[\angle BOC + \frac{\angle C}{2} = 45^\circ\] \[\angle BOC + 45^{\circ} + 45^{\circ} = 180^{\circ}\] \[\angle BOC = 135^\circ\] Ответ: 135 градусов.