Задача 3: Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 70 см.

**Решение:** 1. **Обозначения:** Пусть основания трапеции равны *a* и *b*, где *a* < *b*. Диагонали трапеции делятся точкой пересечения на пропорциональные отрезки. 2. **Свойство трапеции:** Отношение оснований трапеции равно отношению отрезков, на которые диагональ делится точкой пересечения. Таким образом, \(\frac{a}{b} = \frac{5}{9}\). 3. **Выразим *a* через *b*:** Из пропорции следует, что \(a = \frac{5}{9}b\). 4. **Используем информацию о сумме оснований:** Мы знаем, что \(a + b = 70\). Подставим выражение для *a* в это уравнение: \(\frac{5}{9}b + b = 70\). 5. **Решим уравнение:** * Приведем к общему знаменателю: \(\frac{5b + 9b}{9} = 70\) * \(\frac{14b}{9} = 70\) * \(14b = 630\) * \(b = 45\) см. 6. **Найдем *a*:** \(a = 70 - b = 70 - 45 = 25\) см. **Ответ:** Основания трапеции равны 25 см и 45 см. **Развернутый ответ:** В этой задаче мы использовали свойство трапеции о том, что точка пересечения диагоналей делит их на пропорциональные отрезки. Это позволило нам установить отношение между основаниями трапеции. Зная сумму оснований, мы смогли составить и решить уравнение, чтобы найти длины каждого из оснований. Получилось, что одно основание равно 25 см, а другое - 45 см.