Задача 4: Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 16 см. Найдите периметр треугольника, подобного данному, если его площадь равна 24 см².

**Решение:** 1. **Найдем площадь исходного треугольника:** Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. \(S = \frac{1}{2} * 12 * 16 = 96\) см². 2. **Найдем коэффициент подобия k:** Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, \(k^2 = \frac{24}{96} = \frac{1}{4}\), значит \(k = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\). 3. **Найдем гипотенузу исходного треугольника:** По теореме Пифагора, \(c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\) см. 4. **Найдем стороны подобного треугольника:** * Катет 1: 12 см * (1/2) = 6 см * Катет 2: 16 см * (1/2) = 8 см * Гипотенуза: 20 см * (1/2) = 10 см 5. **Найдем периметр подобного треугольника:** Периметр равен сумме всех сторон. P = 6 см + 8 см + 10 см = 24 см. **Ответ:** Периметр подобного треугольника равен 24 см. **Развернутый ответ:** Сначала мы нашли площадь исходного прямоугольного треугольника, используя его катеты. Затем мы нашли коэффициент подобия, используя отношение площадей подобного и исходного треугольников. Этот коэффициент показывает, во сколько раз стороны подобного треугольника меньше, чем стороны исходного. Далее мы нашли гипотенузу исходного треугольника, используя теорему Пифагора. Затем мы умножили каждую сторону исходного треугольника (катеты и гипотенузу) на коэффициент подобия, чтобы найти соответствующие стороны подобного треугольника. Наконец, мы сложили длины всех сторон подобного треугольника, чтобы получить его периметр.