Задача 110. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=54, AC=48, MN=40. Найдите AM.

Поскольку прямая MN параллельна стороне AC, треугольники ABC и MBN подобны по двум углам (угол B - общий, углы BAC и BMN равны как соответственные при параллельных прямых AC и MN и секущей AB). Из подобия следует пропорциональность сторон: $\frac{AB}{MB} = \frac{AC}{MN}$. Пусть AM = x. Тогда MB = AB - AM = 54 - x. Подставляем известные значения в пропорцию: $\frac{54}{54 - x} = \frac{48}{40}$. Упрощаем пропорцию: $\frac{54}{54 - x} = \frac{6}{5}$. Перемножаем крест-накрест: $54 \cdot 5 = 6 \cdot (54 - x)$. $270 = 324 - 6x$. $6x = 324 - 270$. $6x = 54$. $x = \frac{54}{6}$. $x = 9$. Следовательно, AM = 9.