Задача 4: Известно, что CK = DK и ∠CKP = ∠DKP (рис. 47). Докажите, что ∠MCP = ∠MDP.

1. Рассмотрим треугольники CKP и DKP. 2. CK = DK (дано) 3. ∠CKP = ∠DKP (дано) 4. KP - общая сторона. Следовательно, \(\triangle CKP = \triangle DKP\) по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что CP = DP. Теперь рассмотрим треугольники MCP и MDP. * MP - общая сторона * CP = DP (доказано выше) * CK = DK(дано) Однако, по условию, нам дано, что \(CK=DK\), а требуется доказать равенство углов \(\angle MCP = \angle MDP\). Так как \(\triangle CKP = \triangle DKP\), то \(\angle KCP = \angle KDP\). А так как \(\angle CKP = \angle DKP\) (дано), то \(KP\) - биссектриса угла \(CKD\). Имеем \(CK = DK\) и \(CP = DP\). Значит, \(\triangle CDP\) равнобедренный, и \(KP\) является медианой, высотой и биссектрисой. Тогда углы \(\angle CPM\) и \(\angle DPM\) равны, а также углы \(\angle MCP\) и \(\angle MDP\) равны, что и требовалось доказать.