Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: $y = -x^2 + 4$, $y = 0$, $x = -2$, $x = 2$.

Сначала нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -x^2 + 4$, осью $x$ ($y=0$) и прямыми $x = -2$ и $x = 2$. Площадь фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла: $S = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) dx$. 1. Находим первообразную функции $-x^2 + 4$: $\int (-x^2 + 4) dx = -\int x^2 dx + 4\int dx = -\frac{x^3}{3} + 4x + C$. 2. Вычисляем определенный интеграл: $S = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) dx = \left[-\frac{x^3}{3} + 4x\right]_{-2}^2 = \left(-\frac{(2)^3}{3} + 4(2)\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} + 4(-2)\right) = \left(-\frac{8}{3} + 8\right) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = -\frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} + 8 = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3}$. **Ответ: $\frac{32}{3}$** ```html ```