Вычислить определенный интеграл: $\int_{0}^{3} (2x^2 - x + 4) dx$

Для вычисления определенного интеграла, найдем сначала первообразную подынтегральной функции, а затем используем формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная функции $f(x)$. 1. Находим первообразную функции $2x^2 - x + 4$: $\int (2x^2 - x + 4) dx = 2\int x^2 dx - \int x dx + 4\int dx = 2\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 4x + C$. 2. Вычисляем определенный интеграл: $\int_{0}^{3} (2x^2 - x + 4) dx = \left[\frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 4x\right]_0^3 = \left(\frac{2(3)^3}{3} - \frac{(3)^2}{2} + 4(3)\right) - \left(\frac{2(0)^3}{3} - \frac{(0)^2}{2} + 4(0)\right) = \frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{9}{2} + 12 - 0 = 18 - \frac{9}{2} + 12 = 30 - \frac{9}{2} = \frac{60 - 9}{2} = \frac{51}{2} = 25.5$. **Ответ: 25.5**