Вычислить определенный интеграл: $\int_{0}^{1} (3x + 1)^4 dx$

Для вычисления этого интеграла удобно сделать замену переменной. Пусть $u = 3x + 1$. Тогда $du = 3 dx$, следовательно, $dx = \frac{1}{3} du$. Также, нужно изменить пределы интегрирования: - Если $x = 0$, то $u = 3(0) + 1 = 1$. - Если $x = 1$, то $u = 3(1) + 1 = 4$. Теперь интеграл принимает вид: $\int_{0}^{1} (3x + 1)^4 dx = \int_{1}^{4} u^4 \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^4 du = \frac{1}{3} \left[\frac{u^5}{5}\right]_1^4 = \frac{1}{3} \left(\frac{4^5}{5} - \frac{1^5}{5}\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{1024}{5} - \frac{1}{5}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1023}{5} = \frac{1023}{15} = \frac{341}{5} = 68.2$. **Ответ: 68.2**