Вариант IV. 4*. Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.

Пусть в треугольнике ABC медиана BM и высота BH, проведенные из вершины B, делят угол ABC на три равные части, то есть угол ABH = угол HBM = угол MBC = \(\alpha\). Тогда угол ABC = 3\(\alpha\). Так как BH - высота, то угол BHA = 90 градусов. В треугольнике ABH угол BAH = 90 - \(\alpha\). Так как BM - медиана, то AM = MC. Пусть BM = x. Тогда AM = MC = x (медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы). В треугольнике ABM BM = AM, значит, треугольник ABM - равнобедренный, угол BAM = угол ABM = 2\(\alpha\). Значит, 90 - \(\alpha\) = 2\(\alpha\), 3\(\alpha\) = 90, \(\alpha\) = 30. Тогда угол ABC = 3\(\alpha\) = 3 * 30 = 90 градусов. Значит, треугольник ABC - прямоугольный. Доказано.