Вариант IV. 1.В прямоугольном треугольнике из вершины угла, равного 60°, проведена биссектриса, длина которой равна 18 см. Найдите длину катета, лежащего против данного угла.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с углом C = 90 градусов, углом A = 60 градусов, углом B = 30 градусов. Пусть AD - биссектриса угла A, и AD = 18 см. Нужно найти BC. По теореме о биссектрисе, CD / BD = AC / AB. Так как угол B = 30 градусов, то AC = 1/2 AB, AB = 2AC. CD / BD = AC / (2AC) = 1/2, CD = 1/2 BD. CD + BD = BC, 1/2 BD + BD = BC, 3/2 BD = BC, BD = 2/3 BC. Рассмотрим треугольник ABD. По теореме синусов, BD / sin(A/2) = AD / sin(B), (2/3 BC) / sin(30) = 18 / sin(30), (2/3 BC) / (1/2) = 18 / sin(30)=18, (4/3 BC) = 18. BC = 18 * (3/4) = 27/2 = 13,5. В таком случае BC = 13.5 cм. Ответ: катет, лежащий против угла в 60 градусов, равен 13.5 см.