5. В треугольнике АВС АВ=12 см, ВС=13 см, АС=5 см. Найдите площадь треугольника АВС и высоту АК, проведенную к стороне ВС.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ $13^2 = 169$ Так как $5^2 + 12^2 = 13^2$, то треугольник ABC прямоугольный, где AB и AC - катеты, а BC - гипотенуза. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $S = \frac{1}{2} * AB * AC = \frac{1}{2} * 12 * 5 = 30$ квадратных сантиметров. Теперь найдем высоту AK, проведенную к стороне BC. Площадь треугольника можно также выразить как $S = \frac{1}{2} * BC * AK$. $30 = \frac{1}{2} * 13 * AK$ $AK = \frac{2 * 30}{13} = \frac{60}{13}$ см. Ответ: Площадь треугольника равна **30 см²**, высота AK равна **$\frac{60}{13}$ см**.