5. В треугольнике ABC известно, что ∠C=90°, ∠A=60°. На катете AC отметили точку K такую, что ∠AKC=60°. Найдите отрезок CK, если BK=12 см.

Так как ∠C=90°, а ∠A=60°, то ∠B=180-90-60 = 30°. В треугольнике AKC, ∠AKC=60°, ∠C=90°, следовательно ∠KAC= 30°. Тогда ∠AKC=180-60-90=30. Следовательно треугольники ABK и KBC равны. Тогда AK=KC. Рассмотрим треугольник AKC. Угол K=60, угол C=90. Тогда угол A=30. АКС -прямоугольный треугольник. Синус угла А равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. $sinA = rac{KC}{AK}=0.5$, KC=AK. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы. Значит KC= 1/2 АК, AK= 2 KC. Рассмотрим треугольник ABK. В нём BK = 12, угол B=30. cosB = АК/BK . AK= cos30 * BK=$\frac{\sqrt{3}}{2} * 12 = 6\sqrt{3}$. KC=1/2AK= $\frac{6\sqrt{3}}{2}= 3\sqrt{3}$