8. В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠B = 60°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠DBC = 30°, DA = 4 см. Найти АС и расстояние от точки D до стороны ВС.

В треугольнике ABC угол A = 90°, угол B = 60°. Следовательно, угол C = 180° - 90° - 60° = 30°. Так как угол DBC = 30°, то угол ABD = угол ABC - угол DBC = 60° - 30° = 30°. Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов треугольника равна 180°. Угол ADB = 180° - угол A - угол ABD = 180° - 90° - 30° = 60°. Рассмотрим треугольник DBC. Угол C = 30°, угол DBC = 30°, следовательно, треугольник DBC равнобедренный, и BD = DC. В треугольнике ABD известно, что DA = 4 см. По теореме синусов: DA / sin(ABD) = BD / sin(A) => 4 / sin(30°) = BD / sin(90°) => 4 / (1/2) = BD / 1 => BD = 8 см. Значит, DC = 8 см. Тогда AC = AD + DC = 4 + 8 = 12 см. Пусть DE - расстояние от точки D до стороны BC. Рассмотрим треугольник DEC - прямоугольный (DE перпендикулярна BC), угол C = 30°. Тогда DE = DC * sin(C) = 8 * sin(30°) = 8 * (1/2) = 4 см. Ответ: AC = 12 см, расстояние от точки D до стороны BC равно 4 см.