2. В прямоугольном треугольнике АВС катеты равны 5 и 12. Точка D удалена от каждой вершины треугольника на расстояние, равное 12,5. Вычислите расстояние от точки D до плоскости треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника ABC равны $a = 5$ и $b = 12$. Тогда гипотенуза $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$. Так как точка D равноудалена от всех вершин треугольника, основание перпендикуляра, опущенного из точки D на плоскость треугольника, является центром описанной окружности. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится в середине гипотенузы. Следовательно, расстояние от центра описанной окружности до каждой вершины равно $R = \frac{c}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$. Пусть $h$ - расстояние от точки D до плоскости треугольника. Тогда, по теореме Пифагора, имеем: $h^2 + R^2 = d^2$, где $d$ - расстояние от точки D до каждой вершины (12,5). $h^2 + (6.5)^2 = (12.5)^2$ $h^2 = (12.5)^2 - (6.5)^2 = (12.5 - 6.5)(12.5 + 6.5) = 6 * 19 = 114$ $h = \sqrt{114}$ Ответ: Расстояние от точки D до плоскости треугольника равно $\sqrt{114}$.